Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^3.
3.4 S=(x, y, z) in R^3: z=x+y+1

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo é para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira condição: o vetor zero está em 0 = 0 + 0 + 1 implies 0 = 1 .
Para isso, substituímos , e na equação :
Isso não é verdade. Portanto, o vetor zero não está em .

Passo 4

Já que a primeira condição não é satisfeita, não é necessário verificar as outras duas condições. Um subespaço vetorial deve obrigatoriamente conter o vetor zero, então, se essa condição falha, o conjunto não é um subespaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor zero.

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