Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou pede para a gente verificar se uma certa estrutura matemática é um espaço vetorial real. Estamos trabalhando com o conjunto
, que basicamente são pares de números reais onde o segundo número é sempre positivo. As operações definidas são:
- Adição (
): - Multiplicação por escalar (
): , onde é um número real.
Nosso objetivo é verificar se, com essas operações,
satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial real. Para isso, precisamos revisar os axiomas dos espaços vetoriais e checar um por um se eles são cumpridos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Basicamente, eles garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar funcionam de maneira “legal” dentro do conjunto
. Os principais axiomas que vamos verificar são:
- Fechamento na adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
. - Inverso aditivo: Para todo vetor
, existe tal que . - Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor que também está em
. - Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores.
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares.
- Compatibilidade da multiplicação escalar.
- Elemento neutro da multiplicação escalar: Multiplicar um vetor por 1 não o altera.
Vamos verificar cada um desses axiomas para a estrutura dada.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento na adição
Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os somarmos usando
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar dois vetores:
Usando a operação de adição definida:
Agora, precisamos verificar se
está em
.
- A primeira componente,
, é um número real, pois a soma de reais é real. - A segunda componente,
, é produto de dois números positivos ( ), e o produto de positivos é positivo.
Então,
está em
. Portanto, o axioma de fechamento na adição é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Precisamos verificar se
para todos os vetores
.
Usando a definição de
:
Observamos que:
Portanto,
. Assim, o axioma da comutatividade da adição é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Precisamos checar se
para todos os
.
Vamos calcular os dois lados:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Os dois resultados são iguais:
Portanto, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Existência do elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
para todo
.
Vamos supor que
, onde
.
Então:
Para que isso seja igual a
, precisamos que
. Como
é positivo e pode ser qualquer número, a única possibilidade é que
.
Portanto, o elemento neutro seria
.
Vamos checar se
está em
:
-
e , então .
Logo, o axioma da existência do elemento neutro da adição é satisfeito.
Passo 7
Axioma 5: Existência do inverso aditivo
Para cada
, precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Vamos resolver:
Isso nos dá duas equações:
-
-
, já que .
Então, o inverso aditivo de
é:
Vamos verificar se
está em
:
-
e (já que ), então .
Portanto, o axioma da existência do inverso aditivo é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Precisamos verificar se, para todo
e
, o produto
também está em
.
Vamos considerar:
Agora, vamos verificar se
está em
:
- A primeira componente,
, é um número real, pois a multiplicação de reais é real. - A segunda componente,
, precisa ser positiva. Aqui é onde encontramos um problema.
Se
e
for qualquer número real,
está bem definido e positivo. Então,
.
No entanto, se considerarmos que
pode ser qualquer número real, incluindo negativos ou frações onde
precisa ser ajustado para manter positividade, há casos complicados. Mas, no geral, para
,
permanece positivo para qualquer
.
Portanto, o axioma de fechamento na multiplicação por escalar é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
Precisamos verificar se:
Vamos calcular ambos os lados.
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Os dois lados são iguais:
Portanto, o axioma da distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares
Precisamos verificar se:
Vamos calcular ambos os lados.
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Os dois lados são iguais:
Portanto, o axioma da distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares é satisfeito.
Passo 11
Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação escalar
Precisamos verificar se:
Vamos calcular ambos os lados.
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Os dois lados são iguais:
Portanto, o axioma da compatibilidade da multiplicação escalar é satisfeito.
Passo 12
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação escalar
Precisamos verificar se existe um escalar
tal que:
Vamos calcular:
Isso é igual a
, então o axioma do elemento neutro da multiplicação escalar é satisfeito.
Passo 13
Axioma 5: Existência do Inverso Aditivo
No passo anterior já verificamos que para cada vetor
, o inverso aditivo é
, que está em
. Portanto, não precisamos revisitar esse axioma.
Resposta
Após verificar todos os axiomas necessários para que
seja um espaço vetorial real com as operações definidas, concluímos que todos os axiomas são satisfeitos. Portanto, a estrutura dada é um espaço vetorial real.
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Sejam os vetores de
dados por
Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para
, em relação ao produto interno
, em que
e
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.