Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^3.
3.2 S=(x, y, z) in R^3: z=x+y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente verificando se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em z = x + y . O vetor zero em 0 = 0 + 0 é . Substituindo na condição de :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos ver se z1 = x1 + y1 é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em z2 = x2 + y2 , a soma deles também deve estar em z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2) .
Seja (x1 + y1) + (x2 + y2) = x1 + x2 + y1 + y2 e . Então:
A soma . Precisamos verificar se:
Substituindo e :
Como a igualdade é verdadeira, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se cu = (cx, cy, cz) é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor em cz = cx + cy por qualquer número real c(x + y) = cx + cy , o resultado também deve estar em .
Seja e um escalar. Então:
Devemos verificar se:
Sabemos que , então substituindo:
Isso é verdadeiro, então é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

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