Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente verificando se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em , a soma deles também deve estar em .
Seja e . Então:
A soma . Precisamos verificar se:
Substituindo e :
Como a igualdade é verdadeira, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor em por qualquer número real , o resultado também deve estar em .
Seja e um escalar. Então:
Devemos verificar se:
Sabemos que , então substituindo:
Isso é verdadeiro, então é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Se dois operadores auto-adjuntos comutam, prove que o espaço possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.
Seja um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal e números positivos tais que é o conjunto dos vetores cujas coordenadas satisfazem a equação . Seja um operador invertível. Prove que todo elipsóide é transformado por A num elipsóide .
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
Sejam auto-adjunto e positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de então é auto-adjunto.
(b) é autovetor de se, e somente se, é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)