Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente verificando se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Seja
e
. Então:
A soma
. Precisamos verificar se:
Substituindo
e
:
Como a igualdade é verdadeira,
é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor em
por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
um escalar. Então:
Devemos verificar se:
Sabemos que
, então substituindo:
Isso é verdadeiro, então
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.