Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente verificando se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Seja
e
. Então:
A soma
. Precisamos verificar se:
Substituindo
e
:
Como a igualdade é verdadeira,
é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor em
por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
um escalar. Então:
Devemos verificar se:
Sabemos que
, então substituindo:
Isso é verdadeiro, então
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Se dois operadores auto-adjuntos
comutam, prove que o espaço
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto
chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal e números positivos
tais que
é o conjunto dos vetores
cujas coordenadas
satisfazem a equação
. Seja
um operador invertível. Prove que todo elipsóide
é transformado por A num elipsóide
.
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
existem uma base ortonormal
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
Sejam
auto-adjunto e
positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de
então
é auto-adjunto.
(b) é autovetor de
se, e somente se,
é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
(a)
(b)
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)