Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem o conjunto
e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
.
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Então, o vetor zero está em
.
2. Verificar se
é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
e
, onde
e
.
Agora, somamos esses vetores:
Para que
seja fechado sob adição,
deveria ser igual a
:
Comparando com
, vemos que faltou o termo
. Portanto, a soma dos vetores não está em
. Isso significa que
não é fechado sob adição.
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação escalar.
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já tenha falhado, vamos conferir a multiplicação escalar para completar.
Tomemos um vetor
em
, com
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor por
:
Para que
seja fechado sob multiplicação escalar,
deveria ser igual a
:
Mas
só é igual a
se
, o que só é verdade para
ou
. Portanto, a condição de fechamento sob multiplicação escalar também não é satisfeita para outros valores de
.
Resposta
Como o conjunto
não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação escalar, ele não é um subespaço vetorial de
. Geometricamente,
representa uma parábola que abre para baixo no plano cartesiano.
Exercícios relacionados
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Prove que o conjunto
é uma base de
.