Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^2. Represente geometricamente.
2.5 S=(x, y) in R^2: y=-x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem o conjunto e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em y = -x^2 implies 0 = -0^2 implies 0 = 0 .
O vetor zero em (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, -x1^2 - x2^2) é -(x1 + x2)^2 = -x1^2 - 2x1x2 - x2^2 . Vamos ver se ele pertence a k cdot (x, y) = (kx, ky) = (kx, k(-x^2)) = (kx, -k x^2) :
-(kx)^2 = -k^2x^2
Então, o vetor zero está em .
2. Verificar se é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e , onde e .
Agora, somamos esses vetores:
Para que seja fechado sob adição, deveria ser igual a :
Comparando com , vemos que faltou o termo . Portanto, a soma dos vetores não está em . Isso significa que não é fechado sob adição.
3. Verificar se é fechado sob multiplicação escalar.
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já tenha falhado, vamos conferir a multiplicação escalar para completar.
Tomemos um vetor em , com , e um escalar .
Multiplicando o vetor por :
Para que seja fechado sob multiplicação escalar, deveria ser igual a :
Mas só é igual a se , o que só é verdade para ou . Portanto, a condição de fechamento sob multiplicação escalar também não é satisfeita para outros valores de .

Resposta

Como o conjunto não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação escalar, ele não é um subespaço vetorial de . Geometricamente, representa uma parábola que abre para baixo no plano cartesiano.

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