Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem o conjunto e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em .
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Então, o vetor zero está em .
2. Verificar se é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e , onde e .
Agora, somamos esses vetores:
Para que seja fechado sob adição, deveria ser igual a :
Comparando com , vemos que faltou o termo . Portanto, a soma dos vetores não está em . Isso significa que não é fechado sob adição.
3. Verificar se é fechado sob multiplicação escalar.
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já tenha falhado, vamos conferir a multiplicação escalar para completar.
Tomemos um vetor em , com , e um escalar .
Multiplicando o vetor por :
Para que seja fechado sob multiplicação escalar, deveria ser igual a :
Mas só é igual a se , o que só é verdade para ou . Portanto, a condição de fechamento sob multiplicação escalar também não é satisfeita para outros valores de .

Resposta

Como o conjunto não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação escalar, ele não é um subespaço vetorial de . Geometricamente, representa uma parábola que abre para baixo no plano cartesiano.

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