Prove que o conjunto (2,-1,3),(4,1,2),(8,-1,-8) é uma base de R^3.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três vetores: (2,-1,3),(4,1,2),(8,-1,-8), e o objetivo é mostrar que eles formam uma base do espaço R^3. Pra isso, vamos precisar entender sobre independência linear e como calcular o determinante de uma matriz, que vão nos ajudar a provar que esses vetores são uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:
A = 2 & 4 & 8 -1 & 1 & -1 3 & 2 & -8

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
O cálculo do determinante de uma matriz 3x3 é feito da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde, para a nossa matriz:
a = 2, b = 4, c = 8
d = -1, e = 1, f = -1
g = 3, h = 2, i = -8
Substituindo na fórmula:
det(A) = 2(1 times (-8) - (-1) times 2) - 4((-1) times (-8) - 3 times 2) + 8((-1) times 2 - 1 times 3)
= 2(-8 + 2) - 4(8 - 6) + 8(-2 - 3)
= 2(-6) - 4(2) + 8(-5)
= -12 - 8 - 40
= -60

Passo 4

Como o determinante det(A) = -60 é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores em R^3 e eles são independentes, eles geram o espaço todo, ou seja, formam uma base de R^3.

Resposta

Sim, o conjunto (2,-1,3),(4,1,2),(8,-1,-8) é uma base de R^3.

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