Então, a gente tem um conjunto de três vetores: , e o objetivo é mostrar que eles formam uma base do espaço . Pra isso, vamos precisar entender sobre independência linear e como calcular o determinante de uma matriz, que vão nos ajudar a provar que esses vetores são uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
O cálculo do determinante de uma matriz 3x3 é feito da seguinte forma:
Onde, para a nossa matriz:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores em e eles são independentes, eles geram o espaço todo, ou seja, formam uma base de .