Prove que o conjunto é uma base de .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três vetores: , e o objetivo é mostrar que eles formam uma base do espaço . Pra isso, vamos precisar entender sobre independência linear e como calcular o determinante de uma matriz, que vão nos ajudar a provar que esses vetores são uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
O cálculo do determinante de uma matriz 3x3 é feito da seguinte forma:
Onde, para a nossa matriz:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores em e eles são independentes, eles geram o espaço todo, ou seja, formam uma base de .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base de .

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Prove que é um subespaço vetorial de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Seja
Prove que e um subespaço de . Determine uma base e a dimensão de .
Seja a transformação linear definida por
Obtenha uma base ortonormal para .