Prove que S é um subespaço vetorial de M2(R).
4.2 S=[llx & y z & w] in M2(R): 2 x+w=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um conjunto x & y z & w de matrizes com números reais, onde cada matriz satisfaz a equação . Nosso objetivo é provar que é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais.
Para provar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O conjunto não está vazio (contém a matriz zero).
  2. Se pegarmos duas matrizes em e somarmos elas, a soma também está em .
  3. Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando se 0 & 0 0 & 0 não está vazio:
Para mostrar que 2(0) + 0 = 0 verdadeiro não está vazio, precisamos encontrar pelo menos uma matriz que pertença a . A matriz zero é sempre um bom candidato.
A matriz zero é:
Vamos verificar se ela satisfaz a condição :
Então, a matriz zero está em , e portanto não está vazio.

Passo 3

Verificando a soma de duas matrizes em A = x1 & y1 z1 & w1 , B = x2 & y2 z2 & w2 :
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em 2x1 + w1 = 0 e 2x2 + w2 = 0 :
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2
Sabemos que:
2x1 + 2x2 + w1 + w2 = (2x1 + w1) + (2x2 + w2) = 0 + 0 = 0
Agora, vamos somar e :
Precisamos verificar se :
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 4

Verificando a multiplicação por um escalar:
Vamos pegar uma matriz A = x & y z & w , onde 2x + w = 0 em kA = kx & ky kz & kw e um escalar 2(kx) + kw = 0 qualquer:
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Então, também satisfaz a condição e está em .

Resposta

Assim, verificamos que contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares. Portanto, é um subespaço vetorial de .

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