Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um conjunto
de matrizes
com números reais, onde cada matriz
satisfaz a equação
. Nosso objetivo é provar que
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais.
Para provar que
é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
- O conjunto
não está vazio (contém a matriz zero). - Se pegarmos duas matrizes em
e somarmos elas, a soma também está em . - Se multiplicarmos uma matriz em
por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificando se
não está vazio:
Para mostrar que
não está vazio, precisamos encontrar pelo menos uma matriz que pertença a
. A matriz zero é sempre um bom candidato.
A matriz zero é:
Vamos verificar se ela satisfaz a condição
:
Então, a matriz zero está em
, e portanto
não está vazio.
Passo 3
Verificando a soma de duas matrizes em
:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Sabemos que:
Agora, vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
:
Portanto,
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 4
Verificando a multiplicação por um escalar:
Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
qualquer:
Multiplicando
por
:
Precisamos verificar se
:
Então,
também satisfaz a condição e está em
.
Resposta
Assim, verificamos que
contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Prove que o conjunto
é uma base de
.
Seja
Prove que
e um subespaço de
. Determine uma base e a dimensão de
.