Prove que é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um conjunto de matrizes com números reais, onde cada matriz satisfaz a equação . Nosso objetivo é provar que é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais.
Para provar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O conjunto não está vazio (contém a matriz zero).
  2. Se pegarmos duas matrizes em e somarmos elas, a soma também está em .
  3. Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando se não está vazio:
Para mostrar que não está vazio, precisamos encontrar pelo menos uma matriz que pertença a . A matriz zero é sempre um bom candidato.
A matriz zero é:
Vamos verificar se ela satisfaz a condição :
Então, a matriz zero está em , e portanto não está vazio.

Passo 3

Verificando a soma de duas matrizes em :
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Sabemos que:
Agora, vamos somar e :
Precisamos verificar se :
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 4

Verificando a multiplicação por um escalar:
Vamos pegar uma matriz em e um escalar qualquer:
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Então, também satisfaz a condição e está em .

Resposta

Assim, verificamos que contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares. Portanto, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .
Prove que o conjunto é uma base de .
Seja
Prove que e um subespaço de . Determine uma base e a dimensão de .