Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço
de
definido por
. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, em qualquer vetor do subespaço
, a soma das componentes
e
deve ser zero. Podemos reescrever essa equação como
.
Passo 3
Com
, podemos expressar os vetores de
em termos de
e
. Assim, qualquer vetor
em
pode ser escrito como
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar esses vetores. Podemos escrever:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Para verificar se esses vetores formam uma base de
, precisamos garantir que eles sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço
.
-
Independência Linear: Nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente,
e não são múltiplos um do outro. -
Geração do Subespaço: Como mostramos na parametrização, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.
Passo 6
Portanto, esses dois vetores formam uma base para
.
Passo 7
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e a dimensão de
é 2.
Exercícios relacionados
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então
para todo
.
(a) Mostre que, se
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Prove que
é um subespaço vetorial de
.