Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de definido por . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, em qualquer vetor do subespaço , a soma das componentes e deve ser zero. Podemos reescrever essa equação como .

Passo 3

Com , podemos expressar os vetores de em termos de e . Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar esses vetores. Podemos escrever:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Para verificar se esses vetores formam uma base de , precisamos garantir que eles sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço .
  • Independência Linear: Nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, e não são múltiplos um do outro.
  • Geração do Subespaço: Como mostramos na parametrização, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.

Passo 6

Portanto, esses dois vetores formam uma base para .

Passo 7

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e a dimensão de é 2.

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