Prove que S é um subespaço vetorial de M2(R).
4.3 S=[llx & y z & w] in M2(R): 2 y+3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para um conjunto ser considerado um. Basicamente, vamos verificar se satisfaz certas propriedades que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: a matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um escalar real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero
O vetor zero em 0 = 0 & 0 0 & 0 é a matriz onde todas as entradas são zero:
2(0) + 3(0) = 0 Rightarrow 0 = 0
Vamos verificar se essa matriz está em . Substituindo e na condição :
Como a condição é satisfeita, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer A = x1 & y1 z1 & w1 , B = x2 & y2 z2 & w2 e 2y1 + 3z1 = 0 e 2y2 + 3z2 = 0 em A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2 , ou seja:
2(y1 + y2) + 3(z1 + z2) = (2y1 + 3z1) + (2y2 + 3z2) = 0 + 0 = 0
Como e estão em , eles satisfazem:
Agora, vamos somar e :
Precisamos verificar se está em , ou seja, se . Vamos calcular:
Portanto, também satisfaz a condição de pertencimento a .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar uma matriz A = x & y z & w com 2y + 3z = 0 em kA = kx & ky kz & kw e um escalar 2(ky) + 3(kz) = k(2y + 3z) = k cdot 0 = 0 :
Multiplicamos por :
Precisamos verificar se está em , ou seja, se . Vamos calcular:
Então, também satisfaz a condição de pertencimento a .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

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