Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para um conjunto ser considerado um. Basicamente, vamos verificar se
satisfaz certas propriedades que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: a matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: se duas matrizes estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se uma matriz está em
, qualquer múltiplo dela por um escalar real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero
O vetor zero em
é a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos verificar se essa matriz está em
. Substituindo
e
na condição
:
Como a condição é satisfeita, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer
e
em
, ou seja:
Como
e
estão em
, eles satisfazem:
Agora, vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
está em
, ou seja, se
. Vamos calcular:
Portanto,
também satisfaz a condição de pertencimento a
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
:
Multiplicamos
por
:
Precisamos verificar se
está em
, ou seja, se
. Vamos calcular:
Então,
também satisfaz a condição de pertencimento a
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então
para todo
.
(a) Mostre que, se
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Dado um subespaço vetorial
qualquer de
, o conjunto
é denominado complemento ortogonal de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por
. Obtenha uma base para
e uma base para
, em relação ao produto interno usual de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.