Prove que é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para um conjunto ser considerado um. Basicamente, vamos verificar se satisfaz certas propriedades que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: a matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um escalar real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero
O vetor zero em é a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos verificar se essa matriz está em . Substituindo e na condição :
Como a condição é satisfeita, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer e em , ou seja:
Como e estão em , eles satisfazem:
Agora, vamos somar e :
Precisamos verificar se está em , ou seja, se . Vamos calcular:
Portanto, também satisfaz a condição de pertencimento a .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar uma matriz em e um escalar :
Multiplicamos por :
Precisamos verificar se está em , ou seja, se . Vamos calcular:
Então, também satisfaz a condição de pertencimento a .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então para todo .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Dado um subespaço vetorial qualquer de , o conjunto
é denominado complemento ortogonal de .
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por . Obtenha uma base para e uma base para , em relação ao produto interno usual de .
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.