Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso tá dentro de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar algumas propriedades fundamentais que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado na adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado na multiplicação por escalar: Se um vetor está em
e a gente multiplica ele por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
.
Então, o vetor zero está sim em
. ✅
2. Verificando a propriedade de fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Por exemplo,
e
.
Ambos satisfazem a condição
:
Agora, vamos somar esses vetores:
Vamos verificar se
está em
:
Como a soma dos vetores
e
não está em
, a propriedade de fechamento na adição não é satisfeita. ❌
Passo 4
3. Verificando a propriedade de fechamento na multiplicação por escalar:
Mesmo que a segunda condição já não tenha sido atendida, vamos conferir esta também para completar o entendimento.
Vamos tomar um vetor em
, por exemplo,
, e um escalar qualquer, digamos
.
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Verificando se
está em
:
Neste caso, a multiplicação por escalar mantém o vetor em
. Porém, como a condição anterior já não foi atendida, não precisamos nos aprofundar mais.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja a transformação linear
definida por
Obtenha uma base ortonormal para
.
Seja
Prove que
e um subespaço de
. Determine uma base e a dimensão de
.
Sejam
números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
, mostre que
Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de
.