Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^3.
3.3 S=(x, y, z) in R^3: x^2-y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso tá dentro de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar algumas propriedades fundamentais que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado na adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se um vetor está em e a gente multiplica ele por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 0^2 - 0^2 = 0 - 0 = 0 :
O vetor zero em 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0 1^2 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 é u + v = (1+1, 1+(-1), 0+0) = (2, 0, 0) . Vamos ver se ele satisfaz a condição 2^2 - 0^2 = 4 - 0 = 4 neq 0 .
Então, o vetor zero está sim em . ✅
2. Verificando a propriedade de fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Por exemplo, e .
Ambos satisfazem a condição :
Agora, vamos somar esses vetores:
Vamos verificar se está em :
Como a soma dos vetores e não está em , a propriedade de fechamento na adição não é satisfeita. ❌

Passo 4

3. Verificando a propriedade de fechamento na multiplicação por escalar:
Mesmo que a segunda condição já não tenha sido atendida, vamos conferir esta também para completar o entendimento.
Vamos tomar um vetor em k cdot w = 2 cdot (1, 1, 0) = (2, 2, 0) , por exemplo, 2^2 - 2^2 = 4 - 4 = 0 , e um escalar qualquer, digamos .
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Verificando se está em :
Neste caso, a multiplicação por escalar mantém o vetor em . Porém, como a condição anterior já não foi atendida, não precisamos nos aprofundar mais.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados