Seja
Prove que
e um subespaço de
. Determine uma base e a dimensão de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para provar que o conjunto
é um subespaço do espaço das matrizes
com entradas reais, denotado por
. Além disso, precisamos encontrar uma base para
e determinar sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
Condição 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero em
é a matriz nula:
Vamos ver se essa matriz está em
. Substituindo
,
,
, e
nas equações que definem
:
Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 4
Condição 2: Fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Somando
e
:
Agora, vamos verificar se
satisfaz as condições de
:
Portanto,
também está em
.
Passo 5
Condição 3: Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
:
Verificando as condições:
Portanto,
também está em
.
Passo 6
Como
satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que
é de fato um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos determinar uma base para
. Para isso, precisamos expressar as matrizes em
em termos de parâmetros livres. A definição de
nos dá duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, podemos expressar uma matriz genérica em
como:
Isso mostra que qualquer matriz em
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes:
Portanto, uma base para
é
.
Passo 8
Finalmente, a dimensão de
é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos duas matrizes
e
que formam uma base, a dimensão de
é 2.
Resposta
e a dimensão de
é 2.
Exercícios relacionados
Prove que o conjunto
é uma base de
.
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Seja a transformação linear
definida por
Obtenha uma base ortonormal para
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.