Seja
S=[cc x & y z & w ] in M2(R): z=0,3 x-2 y-4 w=0
Prove que S e um subespaço de M2(R). Determine uma base e a dimensão de S.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para provar que o conjunto é um subespaço do espaço das matrizes com entradas reais, denotado por . Além disso, precisamos encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

Condição 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero em 0 & 0 0 & 0 é a matriz nula:
z = 0 (satisfaz)
Vamos ver se essa matriz está em 3x - 2y - 4w = 0 (satisfaz) . Substituindo , , , e nas equações que definem :
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

Condição 2: Fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = x1 & y1 0 & w1 , B = x2 & y2 0 & w2 :
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 0 + 0 & w1 + w2 = x1 + x2 & y1 + y2 0 & w1 + w2
Somando z = 0 (satisfaz, pois a posição (2,1) é 0) e 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) - 4(w1 + w2) = (3x1 - 2y1 - 4w1) + (3x2 - 2y2 - 4w2) = 0 + 0 = 0 :
Agora, vamos verificar se satisfaz as condições de :
çãé
Portanto, também está em .

Passo 5

Condição 3: Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar uma matriz A = x & y 0 & w , cA = cx & cy 0 & cw em z = 0 (satisfaz, pois a posição (2,1) é 0) e um escalar 3(cx) - 2(cy) - 4(cw) = c(3x - 2y - 4w) = c cdot 0 = 0 :
Verificando as condições:
çãé
Portanto, também está em .

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos determinar uma base para z = 0 . Para isso, precisamos expressar as matrizes em 3x - 2y - 4w = 0 em termos de parâmetros livres. A definição de 3x = 2y + 4w implies x = 23y + 43w nos dá duas equações:
23y + 43w & y 0 & w = y 23 & 1 0 & 0 + w 43 & 0 0 & 1
A1 = 23 & 1 0 & 0 , A2 = 43 & 0 0 & 1
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, podemos expressar uma matriz genérica em como:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes:
Portanto, uma base para é .

Passo 8

Finalmente, a dimensão de é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos duas matrizes e que formam uma base, a dimensão de é 2.

Resposta

23 & 1 0 & 0 , 43 & 0 0 & 1 é um subespaço de , tem uma base formada por
e a dimensão de é 2.

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