Seja
Prove que e um subespaço de . Determine uma base e a dimensão de .

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para provar que o conjunto é um subespaço do espaço das matrizes com entradas reais, denotado por . Além disso, precisamos encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

Condição 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero em é a matriz nula:
Vamos ver se essa matriz está em . Substituindo , , , e nas equações que definem :
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

Condição 2: Fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Somando e :
Agora, vamos verificar se satisfaz as condições de :
çãé
Portanto, também está em .

Passo 5

Condição 3: Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar uma matriz em e um escalar :
Verificando as condições:
çãé
Portanto, também está em .

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos determinar uma base para . Para isso, precisamos expressar as matrizes em em termos de parâmetros livres. A definição de nos dá duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, podemos expressar uma matriz genérica em como:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes:
Portanto, uma base para é .

Passo 8

Finalmente, a dimensão de é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos duas matrizes e que formam uma base, a dimensão de é 2.

Resposta

é um subespaço de , tem uma base formada por
e a dimensão de é 2.

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