Sejam
números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
, mostre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
para mostrar que o quadrado da média dos números
é menor ou igual à média dos quadrados desses números. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Em
, para dois vetores
e
, a desigualdade diz que:
Vamos usar isso para resolver o exercício.
Passo 3
Para aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, precisamos escolher vetores
e
apropriados. Vamos escolher:
Assim, cada componente de
é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular os produtos necessários para a desigualdade:
Passo 5
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz com esses vetores:
Passo 6
Agora, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por
para isolar a média ao quadrado:
Resposta
Conseguimos mostrar que:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Seja a transformação linear
definida por
Obtenha uma base ortonormal para
.
Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de
.
Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam