Sejam a1, a2, ldots, an números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em R^n, mostre que
(a1+a2+cdots+ann)^2 <= (a1^2+a2^2+cdots+an^2)n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em para mostrar que o quadrado da média dos números é menor ou igual à média dos quadrados desses números. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Em ( sumi=1^n ui vi )^2 <= ( sumi=1^n ui^2 ) ( sumi=1^n vi^2 ) , para dois vetores e , a desigualdade diz que:
Vamos usar isso para resolver o exercício.

Passo 3

Para aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, precisamos escolher vetores u = (a1, a2, ldots, an) e v = (1, 1, ldots, 1) e apropriados. Vamos escolher:
Assim, cada componente de é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular os produtos necessários para a desigualdade:
sumi=1^n ui vi = sumi=1^n ai cdot 1 = a1 + a2 + cdots + an
sumi=1^n ui^2 = a1^2 + a2^2 + cdots + an^2
sumi=1^n vi^2 = 1^2 + 1^2 + cdots + 1^2 = n

Passo 5

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz com esses vetores:
( a1 + a2 + cdots + an )^2 <= ( a1^2 + a2^2 + cdots + an^2 ) cdot n

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por ( a1 + a2 + cdots + ann )^2 <= a1^2 + a2^2 + cdots + an^2n para isolar a média ao quadrado:

Resposta

Conseguimos mostrar que:
( a1+a2+cdots+ann )^2 <= a1^2+a2^2+cdots+an^2n

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