Sejam números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em , mostre que

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em para mostrar que o quadrado da média dos números é menor ou igual à média dos quadrados desses números. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Em , para dois vetores e , a desigualdade diz que:
Vamos usar isso para resolver o exercício.

Passo 3

Para aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, precisamos escolher vetores e apropriados. Vamos escolher:
Assim, cada componente de é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular os produtos necessários para a desigualdade:

Passo 5

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz com esses vetores:

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por para isolar a média ao quadrado:

Resposta

Conseguimos mostrar que:

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
Seja a transformação linear definida por
Obtenha uma base ortonormal para .
Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de .
Sejam e os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam e os seguintes subespaços vetoriais de