Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o conjunto das matrizes simétricas . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e suas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como construir uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos acima da diagonal principal são iguais aos elementos correspondentes abaixo da diagonal.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como construir uma base para . Uma base é um conjunto de matrizes que são linearmente independentes e que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.

Passo 4

Para montar essa base, vamos considerar duas situações: os elementos na diagonal principal e os elementos fora da diagonal. Nas diagonais, cada elemento pode ser escolhido independentemente. Fora da diagonal, como a matriz é simétrica, o elemento é igual ao .

Passo 5

Então, para cada posição na diagonal, podemos ter uma matriz que tem 1 nessa posição e 0 nas demais. E para cada par de posições fora da diagonal, podemos ter uma matriz que tem 1 em e , e 0 nas demais posições.

Passo 6

Vamos formalizar isso. A base será formada por:
  • Matrizes para cada , onde tem 1 na posição e 0 nas outras posições.
  • Matrizes para cada , onde tem 1 na posição e 0 nas outras posições.

Passo 7

Vamos contar quantas matrizes temos nessa base. Há matrizes para as diagonais e para os pares . No total, a dimensão de é , que é o número de matrizes na nossa base.

Resposta

Uma base para é o conjunto das matrizes para e das matrizes para , onde cada tem 1 na posição e 0 nas demais posições.

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Consider os s requinte subespaço das matrizes .
Calcule: e