Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o conjunto das matrizes simétricas
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e suas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como construir uma base para esse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos acima da diagonal principal são iguais aos elementos correspondentes abaixo da diagonal.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como construir uma base para
. Uma base é um conjunto de matrizes que são linearmente independentes e que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.
Passo 4
Para montar essa base, vamos considerar duas situações: os elementos na diagonal principal e os elementos fora da diagonal. Nas diagonais, cada elemento pode ser escolhido independentemente. Fora da diagonal, como a matriz é simétrica, o elemento
é igual ao
.
Passo 5
Então, para cada posição na diagonal, podemos ter uma matriz que tem 1 nessa posição e 0 nas demais. E para cada par de posições fora da diagonal, podemos ter uma matriz que tem 1 em
e
, e 0 nas demais posições.
Passo 6
Vamos formalizar isso. A base será formada por:
- Matrizes
para cada , onde tem 1 na posição e 0 nas outras posições. - Matrizes
para cada , onde tem 1 na posição e 0 nas outras posições.
Passo 7
Vamos contar quantas matrizes temos nessa base. Há
matrizes para as diagonais e
para os pares
. No total, a dimensão de
é
, que é o número de matrizes na nossa base.
Resposta
Uma base para
é o conjunto das matrizes
para
e das matrizes
para
, onde cada
tem 1 na posição
e 0 nas demais posições.
Exercícios relacionados
Sejam
números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
, mostre que
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam
Consider os s requinte subespaço das matrizes
.
Calcule:
e