Seja a transformação linear T: R^4 R^2 definida por
T(x, y, z, t)=(x-y-z+t,-x+z+t)
Obtenha uma base ortonormal para N u(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o núcleo da transformação linear T(x, y, z, t) = (x - y - z + t, -x + z + t) definida por:
Então, vamos precisar entender sobre transformações lineares, núcleo (ou espaço nulo) e como encontrar uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear N(T) = (x, y, z, t) in R^4 mid T(x, y, z, t) = (0, 0) , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em por . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo estabelecendo as equações:
x - y - z + t = 0 -x + z + t = 0
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, da segunda equação:
-x + z + t = 0 implies x = z + t
Agora, substituímos (z + t) - y - z + t = 0 implies z + t - y - z + t = 0 implies -y + 2t = 0 implies y = 2t na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de x = z + t y = 2t z = z t = t e (z + t, 2t, z, t) = z(1, 0, 1, 0) + t(1, 2, 0, 1) , que serão os parâmetros livres:
Podemos escrever o vetor como:
Isso nos mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 6

Agora, temos uma base para o núcleo:
1 0 1 0 , 1 2 0 1
Para transformar essa base em uma base ortonormal, precisamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores resultantes.

Passo 7

Primeiro, aplicamos o Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais.
Seja 1 0 1 0 e 1 2 0 1 .
Calculamos:
v1 = u1 = 1 0 1 0
v2 = u2 - projv1 u2
Onde .

Passo 8

Calculando os produtos:
u2 cdot v1 = (1)(1) + (2)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 1
v1 cdot v1 = 1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 2
Então:
projv1 u2 = 12 1 0 1 0 = 12 0 12 0
Agora, encontramos v2 = 1 2 0 1 - 12 0 12 0 = 12 2 -12 1 :

Passo 9

Agora, temos dois vetores ortogonais:
v1 = 1 0 1 0 , v2 = 12 2 -12 1
Para torná-los ortonormais, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma).

Passo 10

Calculamos a norma de | v1 | = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 :
| v2 | = raiz(12)^2 + 2^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz14 + 4 + 14 + 1 = raiz5.5 = raiz112
E a de :

Passo 11

Agora, normalizamos os vetores:
e1 = v1| v1 | = 1raiz2 1 0 1 0
e2 = v2| v2 | = 1raiz112 12 2 -12 1 = raiz2raiz11 12 2 -12 1

Resposta

Uma base ortonormal para 1raiz2 1 0 1 0 , raiz2raiz11 12 2 -12 1 é:

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