Seja a transformação linear definida por
Obtenha uma base ortonormal para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o núcleo da transformação linear definida por:
Então, vamos precisar entender sobre transformações lineares, núcleo (ou espaço nulo) e como encontrar uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em por . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo estabelecendo as equações:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de e , que serão os parâmetros livres:
Podemos escrever o vetor como:
Isso nos mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 6

Agora, temos uma base para o núcleo:
Para transformar essa base em uma base ortonormal, precisamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores resultantes.

Passo 7

Primeiro, aplicamos o Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais.
Seja e .
Calculamos:
Onde .

Passo 8

Calculando os produtos:
Então:
Agora, encontramos :

Passo 9

Agora, temos dois vetores ortogonais:
Para torná-los ortonormais, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma).

Passo 10

Calculamos a norma de :
E a de :

Passo 11

Agora, normalizamos os vetores:

Resposta

Uma base ortonormal para é:

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Prove que e um subespaço de . Determine uma base e a dimensão de .
Prove que o conjunto é uma base de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
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