Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o núcleo da transformação linear definida por:
Então, vamos precisar entender sobre transformações lineares, núcleo (ou espaço nulo) e como encontrar uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em por . Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo estabelecendo as equações:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções possíveis.
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 5
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de e , que serão os parâmetros livres:
Podemos escrever o vetor como:
Isso nos mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .
Passo 6
Agora, temos uma base para o núcleo:
Para transformar essa base em uma base ortonormal, precisamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores resultantes.
Passo 7
Primeiro, aplicamos o Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais.
Seja e .
Calculamos:
Onde .
Passo 8
Calculando os produtos:
Então:
Agora, encontramos :
Passo 9
Agora, temos dois vetores ortogonais:
Para torná-los ortonormais, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma).