Determine o elemento
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o elemento
em
tal que **
_{\alpha} =
**.
O que isso significa? Estamos vendo coordenadas de
em relação a uma base
. Para resolver, precisamos entender o que é uma base e como transformar coordenadas de uma base para a base padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma base. Em
, uma base
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Por exemplo, se
, então qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
onde
e
são os coeficientes nas coordenadas dessa base.
Passo 3
Agora, de acordo com a questão, sabemos que as coordenadas de
na base
são:
Isso significa que:
Passo 4
Para encontrar
na base padrão, precisamos saber quais são os vetores
e
expressos na base padrão. Supondo que já temos
e
, fazemos a combinação linear:
Por exemplo, se
e
, então:
Passo 5
Como não temos os valores específicos de
e
na questão, a resposta geral fica assim:
Ou, se preferir, expressado em componentes:
Resposta
O vetor
em
é:
Exercícios relacionados
(a) Quais as coordenadas do vetor
em relação à base
? E em relação a
? E em relação a
?
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Seja
a base canônica de
. A partir de
, obtenha uma base ortonormal para
, em relação aos seguintes produtos internos:
(b) .
(b)
(Produtos notáveis) Sejam as matrizes dadas
11.1 Comparar as duas matrizes
.