Determine o elemento u in R^2 tal que [u]alpha=binom12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o elemento u em 1 2 tal que ** _{\alpha} = **.
O que isso significa? Estamos vendo coordenadas de em relação a uma base . Para resolver, precisamos entender o que é uma base e como transformar coordenadas de uma base para a base padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma base. Em u = c1 alpha1 + c2 alpha2 , uma base é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de e .
Por exemplo, se , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
onde e são os coeficientes nas coordenadas dessa base.

Passo 3

Agora, de acordo com a questão, sabemos que as coordenadas de [u]alpha = 1 2 na base u = 1 cdot alpha1 + 2 cdot alpha2 são:
Isso significa que:

Passo 4

Para encontrar u = 1 cdot alpha1 + 2 cdot alpha2 na base padrão, precisamos saber quais são os vetores a b e c d expressos na base padrão. Supondo que já temos u = 1 cdot a b + 2 cdot c d = a + 2c b + 2d e , fazemos a combinação linear:
Por exemplo, se e , então:

Passo 5

Como não temos os valores específicos de u = alpha1 + 2 alpha2 e u = alpha1x + 2alpha2x alpha1y + 2alpha2y na questão, a resposta geral fica assim:
Ou, se preferir, expressado em componentes:

Resposta

O vetor u = alpha1 + 2 alpha2 em é:

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