Para cada uma das seguintes funções ache
lim x 2 f(x)-f(2)x-2
© f(x)=2 beta x^2.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos calcular o limite da expressão quando se aproxima de 2, onde a função é dada por .
Aqui estamos lidando com limites e derivadas, especificamente usando a definição de derivada para uma função polinomial. Vamos precisar simplificar a expressão e aplicar algumas regras básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função limx 2 f(x) - f(2)x - 2 = limx 2 2beta x^2 - 2beta (2)^2x - 2 na expressão do limite:
f(2) = 2beta (2)^2 = 2beta times 4 = 8beta
Calculando limx 2 2beta x^2 - 8betax - 2 :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Vamos fatorar o numerador. Note que ambos os termos têm 2beta x^2 - 8beta = 2beta (x^2 - 4) em comum:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Agora, reconhecemos que limx 2 2beta (x - 2)(x + 2)x - 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo 2beta (x - 2)(x + 2)x - 2 = 2beta (x + 2) no numerador e no denominador:
limx 2 2beta (x + 2)
Então, a expressão do limite simplificada é:

Passo 5

Finalmente, substituímos 2beta (2 + 2) = 2beta times 4 = 8beta por 2 na expressão simplificada para calcular o limite:

Resposta

O limite é igual a .

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