lim x 2 raizx+3-raiz2 x+1x^3-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 2 raizx+3-raiz2 x+1x^3-8
Esse exercício envolve conceitos de limites e álgebra, especialmente manipulação de expressões com radicais e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para evitar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz2+3-raiz2 cdot 2 +12^3-8 = raiz5 - raiz58 - 8 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Como vimos, obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o denominador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Sabemos que x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) é uma diferença de cubos, e a fatoração de lim x 2 raizx+3-raiz2 x+1(x - 2)(x^2+2x+4) é:
Aplicando isso ao nosso denominador, com e :
Agora, reescrevemos o limite com essa fatoração:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador raizx+3-raiz2 x+1(x - 2)(x^2+2x+4) cdot raizx+3 + raiz2x+1raizx+3 + raiz2x+1 . Para isso, vamos multiplicar e dividir por seu conjugado, que é . Isso ajuda a eliminar os radicais no numerador.
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 5

No numerador, temos a diferença de quadrados:
(raizx+3)^2 - (raiz2x+1)^2 = (x + 3) - (2x + 1) = -x + 2 = 2 - x
Então, a expressão fica:
2 - x(x - 2)(x^2+2x+4)(raizx+3 + raiz2x+1)

Passo 6

Observe que -(x - 2)(x - 2)(x^2+2x+4)(raizx+3 + raiz2x+1) . Substituindo na expressão:
-1(x^2+2x+4)(raizx+3 + raiz2x+1)
Agora, podemos cancelar no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos 2^2 + 2 cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 nessa expressão simplificada:
Primeiro, calculamos raiz2 + 3 + raiz2 cdot 2 + 1 = raiz5 + raiz5 = 2raiz5 quando -112 cdot 2raiz5 = -124raiz5 :
Em seguida, calculamos quando :
Então, substituindo na expressão:

Resposta

O limite é:
-124raiz5

Exercícios relacionados