Para cada uma das seguintes funções ache
lll lim x 2 f(x)-f(2)x-2 & क(a) f(x)=3 x^2 & -(b) f(x)=1 / x, x neq 0 & cdot (c) f(x)=2 / 3 x^2 (d) f(x)=3 x^2+5 x-1 & s(e) f(x)=1x+1, x neq-1 & bul<=t(f) f(x)=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite para cada função dada. Esse limite na verdade representa a derivada da função no ponto . Vamos precisar conhecer como calcular derivadas básicas e entender como aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular substituindo por na função.

Passo 3

Depois, montamos a expressão substituindo e .

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão resultante para encontrar o limite quando se aproxima de .

Passo 5

Finalmente, calculamos o valor do limite, que será a derivada da função no ponto .

Passo 6

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Precisamos entender como aplicar a definição de derivada para funções racionais.

Passo 7

Calculamos f(2) = 12 :

Passo 8

Montamos a expressão:
1x - 12x - 2

Passo 9

Simplificamos a expressão:
2 - x2x(x - 2) = -(x - 2)2x(x - 2) = -12x

Passo 10

Calculamos o limite:
limx 2 -12x = -14

Passo 11

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite representa a derivada da função no ponto . Precisamos aplicar a definição de derivada.

Passo 12

Calculamos f(2) = 23 times 4 = 83 :

Passo 13

Montamos a expressão:
23x^2 - 83x - 2 = 2(x^2 - 4)3(x - 2) = 2(x - 2)(x + 2)3(x - 2) = 2(x + 2)3

Passo 14

Calculamos o limite:
limx 2 2(x + 2)3 = 2(4)3 = 83

Passo 15

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Vamos seguir a definição de derivada.

Passo 16

Calculamos f(2) = 3(2)^2 + 5(2) - 1 = 12 + 10 - 1 = 21 :

Passo 17

Montamos a expressão:
3x^2 + 5x - 1 - 21x - 2 = 3x^2 + 5x - 22x - 2

Passo 18

Fatoramos o numerador:
3x^2 + 5x - 22 = (3x - 11)(x + 2)
Então:
(3x - 11)(x + 2)x - 2
Não há fator comum com f'(x) = 6x + 5 , então usamos a definição de derivada:

Passo 19

Calculamos f'(2) = 6(2) + 5 = 17 :

Passo 20

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Precisamos aplicar a definição de derivada para funções racionais.

Passo 21

Calculamos f(2) = 13 :

Passo 22

Montamos a expressão:
1x + 1 - 13x - 2 = 3 - (x + 1)3(x + 1)(x - 2) = 2 - x3(x + 1)(x - 2) = -(x - 2)3(x + 1)(x - 2) = -13(x + 1)

Passo 23

Calculamos o limite:
limx 2 -13(x + 1) = -19

Passo 24

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite representa a derivada da função no ponto . Vamos aplicar a definição de derivada.

Passo 25

Calculamos f(2) = 8 :

Passo 26

Montamos a expressão:
x^3 - 8x - 2

Passo 27

Fatoramos x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) usando a diferença de cubos:
(x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2 = x^2 + 2x + 4
Então:

Passo 28

Calculamos o limite:
limx 2 (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

Para a função , o limite é .

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