Para cada uma das seguintes funções ache

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite para cada função dada. Esse limite na verdade representa a derivada da função no ponto . Vamos precisar conhecer como calcular derivadas básicas e entender como aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular substituindo por na função.

Passo 3

Depois, montamos a expressão substituindo e .

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão resultante para encontrar o limite quando se aproxima de .

Passo 5

Finalmente, calculamos o valor do limite, que será a derivada da função no ponto .

Passo 6

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Precisamos entender como aplicar a definição de derivada para funções racionais.

Passo 7

Calculamos :

Passo 8

Montamos a expressão:

Passo 9

Simplificamos a expressão:

Passo 10

Calculamos o limite:

Passo 11

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite representa a derivada da função no ponto . Precisamos aplicar a definição de derivada.

Passo 12

Calculamos :

Passo 13

Montamos a expressão:

Passo 14

Calculamos o limite:

Passo 15

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Vamos seguir a definição de derivada.

Passo 16

Calculamos :

Passo 17

Montamos a expressão:

Passo 18

Fatoramos o numerador:
Então:
Não há fator comum com , então usamos a definição de derivada:

Passo 19

Calculamos :

Passo 20

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite é a derivada da função no ponto . Precisamos aplicar a definição de derivada para funções racionais.

Passo 21

Calculamos :

Passo 22

Montamos a expressão:

Passo 23

Calculamos o limite:

Passo 24

Vamos resolver o limite para a função . Esse limite representa a derivada da função no ponto . Vamos aplicar a definição de derivada.

Passo 25

Calculamos :

Passo 26

Montamos a expressão:

Passo 27

Fatoramos usando a diferença de cubos:
Então:

Passo 28

Calculamos o limite:

Resposta

Para a função , o limite é .

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