Dê exemplo de uma Função
não diferenciável que admite as derivadas num ponto (a , b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um exemplo de uma função de duas variáveis, ou seja, uma função da forma
, que não seja diferenciável em um ponto específico
, mas que possa ter derivadas parciais nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre diferenciabilidade e derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Derivadas Parciais: São as taxas de variação da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Diferenciabilidade: Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Em termos simples, se uma função é diferenciável, suas derivadas parciais existem e se comportam “bem” ao redor desse ponto.
No entanto, é possível que as derivadas parciais existam, mas a função não seja diferenciável no ponto. Isso acontece quando as derivadas parciais não se comportam de maneira consistente em todas as direções ao redor do ponto.
Passo 3
Vamos construir um exemplo simples para ilustrar isso. Considere a função:
Queremos analisar essa função no ponto
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Derivada parcial em relação a
:
Isso dá:
No entanto, no ponto
, definimos a derivada como 0 para manter a consistência.
Derivada parcial em relação a
: O mesmo raciocínio se aplica, resultando em:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto
.
Para que
seja diferenciável em
, deve existir um plano tangente que aproxime bem a função ao redor desse ponto. Matemáticamente, isso significa que:
Substituindo
e suas derivadas parciais:
Esse limite não existe de forma consistente quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Por exemplo:
- Se
, temos . - Se
, temos .
Como os limites variam conforme o caminho de aproximação, a função não é diferenciável em
.
Resposta
Um exemplo de função não diferenciável que admite derivadas parciais no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
Para cada uma das seguintes funções ache
Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.
14. .
14.