Dada a equação da hipérbole:
x^2/9 - y^2/16 = 1
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole juntos! A gente tem a equação . Esse exercício faz parte da matéria de Geometria Analítica, e a gente vai precisar entender como identificar os vértices e as assíntotas da hipérbole para desenhar o gráfico direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da hipérbole com eixo horizontal tem a forma . Comparando com a nossa equação, vemos que e . Então, tirando a raiz quadrada, temos e .

Passo 3

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro, que no nosso caso é a origem . Então, os vértices são , ou seja, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima, mas nunca toca. A fórmula das assíntotas para uma hipérbole com eixo horizontal é . Substituindo os valores que encontramos, fica .

Passo 5

Com os vértices e as assíntotas identificados, podemos esboçar o gráfico da hipérbole. A hipérbole vai passar pelos vértices e e irá se aproximar das assíntotas e , formando duas ramos que se abrem para os lados.

Resposta

Os vértices da hipérbole são e , e as assíntotas são as retas e . O esboço do gráfico deve mostrar esses vértices e assíntotas, com a hipérbole se abrindo para os lados.

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