Para cada uma das seguintes funções definidas em R^2, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou x^4 + x^2 - 6xy + 3y^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Agora, igualamos essas derivadas a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2). Da equação (2), podemos isolar :
Agora, substituímos na equação (1):
Fatorando:
Isso nos dá:
E como , os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.

Passo 5

Para o ponto (0, 0):
Como , o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
Para o ponto (1, 1):
Como e , o ponto (1, 1) é um mínimo local.
Para o ponto (-1, -1):
Assim como no ponto (1, 1), e , então o ponto (-1, -1) também é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Ponto de sela
  • : Mínimo local
  • : Mínimo local

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