Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, igualamos essas derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2). Da equação (2), podemos isolar
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Fatorando:
Isso nos dá:
E como
, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 5
Para o ponto (0, 0):
Como
, o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
Para o ponto (1, 1):
Como
e
, o ponto (1, 1) é um mínimo local.
Para o ponto (-1, -1):
Assim como no ponto (1, 1),
e
, então o ponto (-1, -1) também é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: Ponto de sela -
: Mínimo local -
: Mínimo local
Exercícios relacionados
Encontrar los máximos y mínimos de
para (
) restringido a la elipse
.
Sea
. Hallar los extremos absolutos de f sobre la región R , siendo
Resolver o problema de otimização, encontrando o ponto crítico
da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se tal ponto crítico maximiza
ou minimiza
.
Resolver os seguinte problemas de otimização: