Encontrar los máximos y mínimos de
para (
) restringido a la elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
quando os pontos
estão limitados à elipse dada pela equação
. Isso envolve otimização com restrição, e para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar restrições usando Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função
quando estamos sujeitos a uma restrição
. Aqui, nossa função é
e a restrição é
.
Passo 3
A regra dos multiplicadores de Lagrange diz que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Matematicamente, isso significa que existe um número
(o multiplicador de Lagrange) tal que:
Vamos calcular os gradientes de
e
.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
Calculando o gradiente de
:
Passo 5
De acordo com os multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação,
. Da segunda,
.
Substituindo
da primeira na segunda:
Para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
e
para cada valor de
.
Para
:
De
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos usar a restrição
para encontrar os valores de
e
.
Primeiro caso:
Substituindo na restrição:
Então:
Segundo caso:
Substituindo na restrição:
Então:
Passo 9
Agora, temos quatro pontos candidatos:
Vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos.
Passo 10
Calculando
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Os valores máximos e mínimos de
na elipse
são:
- Máximo:
nos pontos e - Mínimo:
nos pontos e
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Sea
. Hallar los extremos absolutos de f sobre la región R , siendo
Sea f la función definida por
y sea R la región triangular de vértices
. Halle el máximo y el mínimo absoluto de la función f en R.
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Resolver o problema de otimização, encontrando o ponto crítico
da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se tal ponto crítico maximiza
ou minimiza
.