Resolver os seguinte problemas de otimização:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar os valores de
e
que maximizam a função
, considerando que
e
estão dentro da circunferência
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente como encontrar máximos de funções com restrições usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, sabemos que para encontrar o máximo de
sujeito à restrição
(vamos considerar a igualdade porque o máximo provavelmente ocorrerá na borda), usamos os multiplicadores de Lagrange. Isso significa que a gente vai resolver o sistema onde o gradiente de
é igual ao gradiente da restrição vezes um multiplicador
.
Passo 3
Calculando os gradientes:
Onde
.
Passo 4
Aplicando a condição de Lagrange:
Isso dá as equações:
E ainda temos a restrição
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação,
. Substituindo na segunda,
, ou seja,
. Se
, então
, logo
.
Passo 6
Para
:
Usando
com
:
Para
:
Usando
com
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
nos pontos encontrados:
Resposta
O valor máximo de
sujeito à restrição
é
.
Exercícios relacionados
Resolver o problema de otimização, encontrando o ponto crítico
da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se tal ponto crítico maximiza
ou minimiza
.
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Resolver o problema de otimização, encontrando o valor extremo da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se nesse valor a função alcançará um valor máximo ou mínimo.