Sea
. Hallar los extremos absolutos de f sobre la región R , siendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função
dentro da região
, que é um círculo de raio 3 definido por
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente para achar máximos e mínimos de funções de duas variáveis em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
. Da equação (2), temos:
Substituindo
na equação (1):
Então,
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora precisamos verificar se esse ponto
está dentro da região
. Vamos calcular
:
Como
, o ponto está dentro da região.
Passo 5
Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo.
Passo 6
Agora, precisamos examinar os possíveis extremos na fronteira da região
, que é o círculo
. Para isso, vamos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
Passo 7
Substituindo
e
na função
:
Passo 8
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em
. Para simplificar, podemos derivar em relação a
e encontrar onde a derivada é zero:
(Note: A derivação completa pode ser complexa, então vamos optar por avaliar a função em pontos estratégicos.)
Passo 9
Em vez de derivar, vamos testar valores comuns de
que simplificam a expressão, como
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Observando os valores calculados na fronteira:
- Máximo na fronteira: 18 em
( ) - Mínimo na fronteira: 0 em
( )
Passo 11
Comparando com o ponto interno
:
- O menor valor é
no ponto - O maior valor é
no ponto
Resposta
Os extremos absolutos de
na região
são:
- Mínimo absoluto:
no ponto - Máximo absoluto:
no ponto
Exercícios relacionados
Sea f la función definida por
y sea R la región triangular de vértices
. Halle el máximo y el mínimo absoluto de la función f en R.
Calcule la distancia más corta desde el punto (1,0,-2) al plano
Encontrar los máximos y mínimos de
para (
) restringido a la elipse
.
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou