Resolver o problema de otimização, encontrando o ponto crítico
da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se tal ponto crítico maximiza
ou minimiza
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar o ponto crítico
da função
com a restrição
. Aqui, estamos trabalhando com otimização com restrição, que envolve encontrar máximos ou mínimos de uma função sob certa condição. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente junta a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um novo parâmetro, chamado de
(lambda), que é o multiplicador de Lagrange. Então, temos:
Aqui, reescrevemos a restrição
como
para facilitar a colocação na função de Lagrange.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, das duas primeiras equações:
Igualando as duas expressões para
:
Agora, sabemos que
. Substituindo isso na restrição
:
Como
, temos também
.
Passo 5
Agora que encontramos
e
, vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos a condição de segunda ordem. Calculamos as segundas derivadas da função
:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que temos um ponto de máximo.
Resposta
O ponto crítico é
e ele é um ponto de máximo para a função
sob a restrição
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Encontrar los máximos y mínimos de
para (
) restringido a la elipse
.
Resolver os seguinte problemas de otimização:
Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou