Resolver o problema de otimização, encontrando o ponto crítico (x*, y*) da função f(x, y) = -x^2 - y^2 + 6 sujeito à restrição x + y = 2. Determine por meio da condição de segunda ordem se tal ponto crítico maximiza f ou minimiza f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar o ponto crítico da função com a restrição . Aqui, estamos trabalhando com otimização com restrição, que envolve encontrar máximos ou mínimos de uma função sob certa condição. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente junta a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um novo parâmetro, chamado de (lambda), que é o multiplicador de Lagrange. Então, temos:
Aqui, reescrevemos a restrição como para facilitar a colocação na função de Lagrange.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, das duas primeiras equações:
Igualando as duas expressões para :
Agora, sabemos que . Substituindo isso na restrição :
Como , temos também .

Passo 5

Agora que encontramos e , vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos a condição de segunda ordem. Calculamos as segundas derivadas da função :
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que temos um ponto de máximo.

Resposta

O ponto crítico é e ele é um ponto de máximo para a função sob a restrição .

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