Para cada uma das seguintes funções definidas em , encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida em três dimensões, ou seja, em :
O objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como utilizá-las para encontrar e classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do produto, temos:
Simplificando:
Fatorando :
Igualando a zero:
Como nunca é zero, temos:
Então, ou ou .
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando :
Igualando a zero:
Novamente, como nunca é zero, temos:
Portanto, ou ou .
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando :
Igualando a zero:
Assim, ou ou .
Passo 6
Agora, vamos combinar as condições encontradas:
, ,
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:, ,
Substituindo na função:
Este é um ponto crítico.
Caso 2:
Isso implica que:
Combinado com as outras condições (, , ), mas como , temos outras possíveis soluções. No entanto, como todas as derivadas parciais devem ser zero simultaneamente, a única solução que satisfaz todas as equações é , , .
Passo 7
Agora, vamos classificar o ponto crítico encontrado. Para isso, precisamos analisar a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
As segundas derivadas parciais são:
Calculando essas derivadas no ponto crítico :
Após cálculos, obtemos a matriz Hessiana avaliada no ponto:
Os autovalores da matriz Hessiana são positivos (, , ), o que indica que a função é convexa nesse ponto.
Passo 8
Como todos os autovalores da matriz Hessiana são positivos, isso significa que o ponto crítico é um mínimo local da função.
Resposta
O único ponto crítico da função é e ele é um mínimo local.