Resolver o problema de otimização, encontrando o valor extremo da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se nesse valor a função alcançará um valor máximo ou mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente tem que encontrar os valores de
e
que extremizam a função
sob a condição de que
. Basicamente, vamos precisar usar método de substituição e aplicar a condição de segunda ordem para determinar se é um máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos otimizando:
. Essa função representa a soma dos quadrados de
e
, que na verdade mede a distância ao quadrado do ponto
até a origem. Nosso objetivo é achar o ponto na reta
que está mais perto ou mais longe da origem.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar a condição de restrição
para expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para
:
Agora, substituímos esse valor de
na função
:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Agora, temos uma função quadrática em termos de
, que podemos otimizar encontrando seu ponto mínimo ou máximo.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza ou maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com o valor de
, vamos encontrar
usando a equação
:
Então, o ponto extremo é
.
Passo 7
Para verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo, vamos usar a condição de segunda ordem. Calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de mínimo nesse valor de
.
Resposta
O valor extremo ocorre no ponto
e a função alcança um mínimo nesse ponto.
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Para cada uma das seguintes funções definidas em
, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou
Resolver os seguinte problemas de otimização:
Resolver os seguinte problemas de otimização: