Resolver o problema de otimização, encontrando o valor extremo da função f(x, y) = x^2 + y^2 sujeito à restrição x + 4y = 2. Determine por meio da condição de segunda ordem se nesse valor a função alcançará um valor máximo ou mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente tem que encontrar os valores de e que extremizam a função sob a condição de que . Basicamente, vamos precisar usar método de substituição e aplicar a condição de segunda ordem para determinar se é um máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos otimizando: . Essa função representa a soma dos quadrados de e , que na verdade mede a distância ao quadrado do ponto até a origem. Nosso objetivo é achar o ponto na reta que está mais perto ou mais longe da origem.

Passo 3

Para facilitar, vamos usar a condição de restrição para expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para :
Agora, substituímos esse valor de na função :

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
Agora, temos uma função quadrática em termos de , que podemos otimizar encontrando seu ponto mínimo ou máximo.

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza ou maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Com o valor de , vamos encontrar usando a equação :
Então, o ponto extremo é .

Passo 7

Para verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo, vamos usar a condição de segunda ordem. Calculamos a segunda derivada de em relação a :
Como , isso indica que a função tem um ponto de mínimo nesse valor de .

Resposta

O valor extremo ocorre no ponto e a função alcança um mínimo nesse ponto.

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Para cada uma das seguintes funções definidas em R^3, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou (x^2 + 2y^2 + 3z^2) * e^(-(x^2 + y^2 + z^2))
Resolver os seguinte problemas de otimização:
max f(x, y) = x * y s.a. x^2 + y^2 <= 1
Resolver os seguinte problemas de otimização:
max f(x, y) = x*y s.a. x^2 + y^2 = 1
integral0^2 integral0^1 r sin ^2 theta d theta d r