Resolver os seguinte problemas de otimização:
max f(x, y) = x*y s.a. x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é de otimização, especificamente queremos encontrar o valor máximo da função sujeita à condição . Isso significa que estamos procurando os valores de e que fazem ser o maior possível, enquanto e estão sobre o círculo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição . Isso representa um círculo de raio 1 no plano . Nosso objetivo é maximizar a função dentro desse círculo.

Passo 3

Para facilitar, podemos usar a restrição para expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver a equação para :

Passo 4

Agora, substituímos na função :

Passo 5

Para encontrar o máximo de , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora, encontramos os valores de correspondentes usando a restrição:
Então, os pontos são e .

Resposta

O valor máximo de sujeito à restrição é , alcançado nos pontos e .

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Resolver o problema de otimização, encontrando o valor extremo da função f(x, y) = x^2 + y^2 sujeito à restrição x + 4y = 2. Determine por meio da condição de segunda ordem se nesse valor a função alcançará um valor máximo ou mínimo.
Para cada uma das seguintes funções definidas em R^3, encontre os pontos críticos e classifique-os como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou (x^2 + 2y^2 + 3z^2) * e^(-(x^2 + y^2 + z^2))
integral0^2 integral0^1 r sin ^2 theta d theta d r
lim x -1 x^3+4 x^2-3x^2+5
(0)