Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se e dada por:
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto e uma função definida por:
O objetivo é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses termos na matéria de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetora (ou um a um) se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do conjunto de partida. Ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de que apontem para o mesmo elemento em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é injetora. Olha só:
Para a , , então:
Para ,
Observando isso, vemos que todos os valores de são únicos: . Nenhum valor se repete, então é injetora.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre sobrejeç��o. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida . Em outras palavras, não deixa nenhum elemento sem ser atingido pela função.
Passo 5
Vamos verificar se é sobrejetora. Olhando os valores que atinge:
Todos os elementos de estão sendo atingidos por algum em . Por exemplo:
Então, é sobrejetora.
Passo 6
Como é tanto injetora quanto sobrejetora, ela satisfaz as condições para ser bijetora.
Resposta
A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.