Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x + 1, se x ≠ 7; 1, se x = 7 }

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto e uma função definida por:
O objetivo é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses termos na matéria de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetora (ou um a um) se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do conjunto de partida. Ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de que apontem para o mesmo elemento em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é injetora. Olha só:
  • Para a , , então:
  • Para ,
Observando isso, vemos que todos os valores de são únicos:
. Nenhum valor se repete, então é injetora.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre sobrejeç��o. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida . Em outras palavras, não deixa nenhum elemento sem ser atingido pela função.

Passo 5

Vamos verificar se é sobrejetora. Olhando os valores que atinge:
Todos os elementos de estão sendo atingidos por algum em . Por exemplo:
Então, é sobrejetora.

Passo 6

Como é tanto injetora quanto sobrejetora, ela satisfaz as condições para ser bijetora.

Resposta

A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Exercícios relacionados

Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / raiz(x * (x^2 - 4))
Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que X ⊆ f^(-1)(f(X)).
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo g^{-1}(-1).
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo h^(-1)([1/3, 1/2])