Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / raiz(x * (x^2 - 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio maximal da função . Isso significa que a gente precisa descobrir todos os valores de para os quais a função está bem definida. Vamos usar conceitos de domínios de funções e inequações pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para a função estar definida, o denominador não pode ser zero e deve ser um número real. Então, precisamos que:
  1. O que está dentro da raiz quadrada, ou seja, , seja positivo.
  2. .

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Primeiramente, fatoramos a expressão:
Os pontos críticos são onde a expressão é igual a zero: , e .

Passo 4

Vamos dividir a linha dos números reais em intervalos determinados por esses pontos críticos e testar o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. Intervalo : Por exemplo, :
  2. Intervalo : Por exemplo, :
  3. Intervalo : Por exemplo, :
  4. Intervalo : Por exemplo, :

Passo 5

Observando os sinais, a expressão é positiva nos intervalos e . Portanto, para esses valores de , a função está bem definida.

Resposta

O domínio maximal da função é:

Exercícios relacionados

Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que X ⊆ f^(-1)(f(X)).
Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / (x(x + 4)(3x + 1))
Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x + 1, se x ≠ 7; 1, se x = 7 }
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo g^{-1}(-1).