Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que X ⊆ f^(-1)(f(X)).

Passo 1

Então, a gente tem uma função . Temos dois subconjuntos do domínio , que são e , e dois subconjuntos do contradomínio , que são e . A tarefa aqui é mostrar que .
Aqui o conteúdo principal envolve funções e conjuntos. Vamos precisar entender o que é a imagem de um conjunto por uma função e o que significa o inverso de uma função aplicada a essa imagem . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso é a imagem de pela função , ou seja, todos os elementos em que são imagens de elementos em . Formalmente:
Agora, o que é ? Isso é o inverso de aplicado a , que inclui todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em pela função . Ou seja:

Passo 3

Vamos mostrar que todo elemento em também está em . Pegamos um elemento . Pela definição de imagem, está em . Portanto, satisfaz a condição para estar em , já que .
Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, .

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