Seja dada uma função
. Se
e
são subconjuntos do domínio
e se
e
são subconjuntos do contradomínio
, mostre que
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
. Temos dois subconjuntos do domínio
, que são
e
, e dois subconjuntos do contradomínio
, que são
e
. A tarefa aqui é mostrar que
.
Aqui o conteúdo principal envolve funções e conjuntos. Vamos precisar entender o que é a imagem de um conjunto por uma função
e o que significa o inverso de uma função aplicada a essa imagem
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso é a imagem de
pela função
, ou seja, todos os elementos em
que são imagens de elementos em
. Formalmente:
Agora, o que é
? Isso é o inverso de
aplicado a
, que inclui todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
pela função
. Ou seja:
Passo 3
Vamos mostrar que todo elemento
em
também está em
. Pegamos um elemento
. Pela definição de imagem,
está em
. Portanto,
satisfaz a condição para estar em
, já que
.
Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto,
.