Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que X ⊆ f^(-1)(f(X)).

Passo 1

Então, a gente tem uma função . Temos dois subconjuntos do domínio , que são e , e dois subconjuntos do contradomínio , que são e . A tarefa aqui é mostrar que .
Aqui o conteúdo principal envolve funções e conjuntos. Vamos precisar entender o que é a imagem de um conjunto por uma função e o que significa o inverso de uma função aplicada a essa imagem . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso é a imagem de pela função , ou seja, todos os elementos em que são imagens de elementos em . Formalmente:
Agora, o que é ? Isso é o inverso de aplicado a , que inclui todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em pela função . Ou seja:

Passo 3

Vamos mostrar que todo elemento em também está em . Pegamos um elemento . Pela definição de imagem, está em . Portanto, satisfaz a condição para estar em , já que .
Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, .

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Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / (x(x + 4)(3x + 1))
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo h^(-1)({1}).
Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / raiz(x * (x^2 - 4))
Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x + 1, se x ≠ 7; 1, se x = 7 }