Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo g^{-1}(-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as pré-imagens de -1 pela função . Isso está dentro do estudo de funções e pré-imagens, que basicamente pergunta quais valores de fazem com que seja igual a -1.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função a -1:
Isso significa que:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Lembrando que o valor absoluto implica que ou . Então, temos duas situações:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
Expandindo :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Expandindo :
Simplificando:
Somando aos dois lados:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 6

Agora, vamos verificar quais dessas soluções realmente satisfazem a equação original.
Para :
Está ok.
Para :
Não vale.
Para :
Também não vale.

Resposta

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