Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo h^(-1)([1/3, 1/2])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções diferentes, mas o foco aqui é na função definida para . O que a gente precisa descobrir é quais valores de fazem com que esteja entre e . Para isso, vamos usar conceitos de funções e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela envolve raízes quadradas, então precisamos garantir que os valores dentro das raízes sejam não negativos, o que já está garantido porque .

Passo 3

Queremos encontrar todos os que satisfazem:
Para resolver isso, vamos resolver duas desigualdades separadamente:

Passo 4

Vamos começar pela primeira desigualdade:
Para resolver, vamos isolar a raiz:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado novamente:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda desigualdade:
Isolando a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Elevando ao quadrado:

Passo 6

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
Isso significa que os valores de que tornam entre e estão no intervalo .

Resposta

A pré-imagem é o intervalo .

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Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo g^{-1}(-1).
Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x + 1, se x ≠ 7; 1, se x = 7 }
Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que Se f é injetora então X = f^(-1)(f(X)).
Com os mesmos dados do Exercício 10, mostre que Se f é injetora então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).