Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x, se x é ímpar; x/2, se x é par }éíé

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar se a função , onde , é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos precisar entender bem o que cada um desses termos significa e depois aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo quer dizer:
  • Função Injetora: Cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por, no máximo, um elemento do conjunto de partida. Ou seja, não tem dois elementos diferentes de que vão para o mesmo ponto em .
  • Função Sobrejetora: Todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Quer dizer que não sobra nenhum número em que não seja imagem de algum outro número em .
  • Função Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora. Então, cada elemento de é mapeado por exatamente um elemento de .
Agora, vamos analisar a função :
éí
Vamos ver como cada elemento de se comporta:
  • (ímpar)
  • (par)
  • (ímpar)
  • (par)
  • (ímpar)
  • (par)
  • (ímpar)
Agora, vamos verificar a injetividade:
  • Observamos que e . Ou seja, dois elementos diferentes (1 e 2) estão mapeando para o mesmo valor (1). Isso significa que a função não é injetora.
Agora, vamos verificar a sobrejetividade:
  • Olhando para os valores que a função atinge: .
  • Notamos que o número 4, por exemplo, não é atingido por nenhum elemento de . Portanto, nem todo elemento de está sendo coberto pela função. Isso significa que a função não é sobrejetora.
Como a função não é injetora nem sobrejetora, ela também não é bijetora.

Resposta

A função não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

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