Com os mesmos dados do Exercício 10, mostre que Se é injetora então .
Passo 1
No exercício, precisamos mostrar que se uma função é injetora, então a imagem da interseção de dois conjuntos e pela função é igual à interseção das imagens de e por . Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e propriedades das imagens de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer , sempre que:
então:
Isso significa que elementos diferentes de têm imagens diferentes em .
Passo 3
Agora, precisamos provar que:
e que:
Passo 4
Primeira inclusão: Vamos provar que .
Seja . Isso significa que existe algum elemento tal que:
Como está em e também em , temos que:
e
Portanto, . Assim, mostramos que:
Passo 5
Segunda inclusão: Agora, vamos provar que .
Seja . Isso significa que existem e tais que:
Como e é injetora, devemos ter que:
Portanto, pertence a e , ou seja, . Assim, , o que mostra que:
Resposta
Como demonstramos as duas inclusões, concluímos que:
Portanto, se é injetora, a imagem da interseção de e pela função é igual à interseção das imagens de e por .