Com os mesmos dados do Exercício 10, mostre que Se
é injetora então
.
Passo 1
No exercício, precisamos mostrar que se uma função
é injetora, então a imagem da interseção de dois conjuntos
e
pela função
é igual à interseção das imagens de
e
por
. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e propriedades das imagens de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função
é injetora se, para quaisquer
, sempre que:
então:
Isso significa que elementos diferentes de
têm imagens diferentes em
.
Passo 3
Agora, precisamos provar que:
e que:
Passo 4
Primeira inclusão: Vamos provar que
.
Seja
. Isso significa que existe algum elemento
tal que:
Como
está em
e também em
, temos que:
e
Portanto,
. Assim, mostramos que:
Passo 5
Segunda inclusão: Agora, vamos provar que
.
Seja
. Isso significa que existem
e
tais que:
Como
e
é injetora, devemos ter que:
Portanto,
pertence a
e
, ou seja,
. Assim,
, o que mostra que:
Resposta
Como demonstramos as duas inclusões, concluímos que:
Portanto, se
é injetora, a imagem da interseção de
e
pela função
é igual à interseção das imagens de
e
por
.