Com os mesmos dados do Exercício 10, mostre que Se f é injetora então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).

Passo 1

No exercício, precisamos mostrar que se uma função é injetora, então a imagem da interseção de dois conjuntos e pela função é igual à interseção das imagens de e por . Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e propriedades das imagens de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer , sempre que:
então:
Isso significa que elementos diferentes de têm imagens diferentes em .

Passo 3

Agora, precisamos provar que:
e que:

Passo 4

Primeira inclusão: Vamos provar que .
Seja . Isso significa que existe algum elemento tal que:
Como está em e também em , temos que:
e
Portanto, . Assim, mostramos que:

Passo 5

Segunda inclusão: Agora, vamos provar que .
Seja . Isso significa que existem e tais que:
Como e é injetora, devemos ter que:
Portanto, pertence a e , ou seja, . Assim, , o que mostra que:

Resposta

Como demonstramos as duas inclusões, concluímos que:
Portanto, se é injetora, a imagem da interseção de e pela função é igual à interseção das imagens de e por .

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