Com os mesmos dados do Exercício 10, mostre que Se f é injetora então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).

Passo 1

No exercício, precisamos mostrar que se uma função é injetora, então a imagem da interseção de dois conjuntos e pela função é igual à interseção das imagens de e por . Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e propriedades das imagens de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer , sempre que:
então:
Isso significa que elementos diferentes de têm imagens diferentes em .

Passo 3

Agora, precisamos provar que:
e que:

Passo 4

Primeira inclusão: Vamos provar que .
Seja . Isso significa que existe algum elemento tal que:
Como está em e também em , temos que:
e
Portanto, . Assim, mostramos que:

Passo 5

Segunda inclusão: Agora, vamos provar que .
Seja . Isso significa que existem e tais que:
Como e é injetora, devemos ter que:
Portanto, pertence a e , ou seja, . Assim, , o que mostra que:

Resposta

Como demonstramos as duas inclusões, concluímos que:
Portanto, se é injetora, a imagem da interseção de e pela função é igual à interseção das imagens de e por .

Exercícios relacionados

Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que Se f é injetora então X = f^(-1)(f(X)).
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo h^(-1)([1/3, 1/2])
Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando (i.e. provando ou dando contraexemplos) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por: f(x) = { x, se x é ímpar; x/2, se x é par }éíé
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo f^(-1)(2).