Determine a área da superfície.
7. A parte do plano
que está no primeiro octante
7. A parte do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Isso envolve entender geometria no espaço tridimensional e calcular áreas de superfícies planas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é a região do espaço onde
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Então, precisamos determinar onde o plano
intersecta os eixos
,
e
.
Passo 3
Para encontrar os interceptos:
-
Interseção com o eixo
: Colocamos e na equação do plano: Então, o ponto é. -
Interseção com o eixo
: Colocamos e : Então, o ponto é. -
Interseção com o eixo
: Colocamos e : Então, o ponto é.
Passo 4
Agora, vamos visualizar esses três pontos no primeiro octante. Eles formam um triângulo no espaço. Para facilitar o cálculo da área, vamos projetar esse triângulo no plano
.
Passo 5
A projeção do triângulo no plano
tem vértices em
,
e
. A área desse triângulo é fácil de calcular:
Passo 6
Mas essa é a área no plano
. Para encontrar a área real no plano inclinando, precisamos levar em conta a inclinação do plano. Isso é feito multiplicando pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes diretores do plano, que é
.
Passo 7
Então, a área da superfície no primeiro octante é:
Resposta
A área da superfície é
.