Determine a área da superfície.
7. A parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro octante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano que está no primeiro octante. Isso envolve entender geometria no espaço tridimensional e calcular áreas de superfícies planas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é a região do espaço onde , e são todos maiores ou iguais a zero. Então, precisamos determinar onde o plano intersecta os eixos , e .

Passo 3

Para encontrar os interceptos:
  • Interseção com o eixo : Colocamos e na equação do plano:
    Então, o ponto é .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e :
    Então, o ponto é .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos visualizar esses três pontos no primeiro octante. Eles formam um triângulo no espaço. Para facilitar o cálculo da área, vamos projetar esse triângulo no plano .

Passo 5

A projeção do triângulo no plano tem vértices em , e . A área desse triângulo é fácil de calcular:
Á

Passo 6

Mas essa é a área no plano . Para encontrar a área real no plano inclinando, precisamos levar em conta a inclinação do plano. Isso é feito multiplicando pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes diretores do plano, que é .

Passo 7

Então, a área da superfície no primeiro octante é:
Á

Resposta

A área da superfície é .

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