Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo f^(-1)(2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida por . A pergunta é para encontrar a pré-imagem de nessa função, ou seja, determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma pré-imagem e como resolver equações simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pré-imagem. A pré-imagem de um conjunto sob uma função é o conjunto de todos os elementos no domínio da função que são mapeados para elementos desse conjunto. No nosso caso, queremos encontrar todos os números naturais que, ao serem aplicados na função , resultam em .

Passo 3

Vamos montar a equação usando a definição da função:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 4

Subtraímos de ambos os lados da equação:
Em seguida, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 5

Agora, verificamos se está no domínio da função , que é o conjunto dos números naturais . Como não é um número natural (os números naturais são ), concluímos que não existe nenhum natural que satisfaça a equação .

Resposta

Portanto, a pré-imagem é o conjunto vazio:

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