Seja dada uma função . Se e são subconjuntos do domínio e se e são subconjuntos do contradomínio , mostre que Se é injetora então .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função e subconjuntos e do domínio , além de e do contradomínio . O conteúdo envolve conceitos de funções injetoras e pré-imagem. Vamos precisar conhecer a definição de função injetora e como calcular pré-imagens para resolver este exercício.
Passo 2
Vamos lembrar que uma função é chamada de injetora (ou injetiva) se, para todo , implica que . Em outras palavras, a função nunca mapeia dois elementos diferentes do domínio para o mesmo elemento no contradomínio.
Passo 3
Também precisamos entender o que significa . A pré-imagem de sob é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados por para algum elemento em . Formalmente, .
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que, se é injetora, então . Vamos provar duas inclusões:
Passo 5
Primeiro, vamos mostrar que . Tome qualquer elemento . Claro que por definição de imagem. Portanto, . Assim, .
Passo 6
Agora, vamos mostrar que . Tome qualquer elemento . Isso significa que , ou seja, existe algum tal que .
Passo 7
Como é injetora, implica que . Mas , então . Portanto, .
Resposta
Como mostramos que e , concluímos que quando é injetora.