Seja dada uma função f: A -> B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que Se f é injetora então X = f^(-1)(f(X)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função e subconjuntos e do domínio , além de e do contradomínio . O conteúdo envolve conceitos de funções injetoras e pré-imagem. Vamos precisar conhecer a definição de função injetora e como calcular pré-imagens para resolver este exercício.

Passo 2

Vamos lembrar que uma função é chamada de injetora (ou injetiva) se, para todo , implica que . Em outras palavras, a função nunca mapeia dois elementos diferentes do domínio para o mesmo elemento no contradomínio.

Passo 3

Também precisamos entender o que significa . A pré-imagem de sob é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados por para algum elemento em . Formalmente, .

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que, se é injetora, então . Vamos provar duas inclusões:

Passo 5

Primeiro, vamos mostrar que . Tome qualquer elemento . Claro que por definição de imagem. Portanto, . Assim, .

Passo 6

Agora, vamos mostrar que . Tome qualquer elemento . Isso significa que , ou seja, existe algum tal que .

Passo 7

Como é injetora, implica que . Mas , então . Portanto, .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que quando é injetora.

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