Seja dada uma função
. Se
e
são subconjuntos do domínio
e se
e
são subconjuntos do contradomínio
, mostre que Se
é injetora então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função
e subconjuntos
e
do domínio
, além de
e
do contradomínio
. O conteúdo envolve conceitos de funções injetoras e pré-imagem. Vamos precisar conhecer a definição de função injetora e como calcular pré-imagens para resolver este exercício.
Passo 2
Vamos lembrar que uma função
é chamada de injetora (ou injetiva) se, para todo
,
implica que
. Em outras palavras, a função nunca mapeia dois elementos diferentes do domínio para o mesmo elemento no contradomínio.
Passo 3
Também precisamos entender o que significa
. A pré-imagem de
sob
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados por
para algum elemento em
. Formalmente,
.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que, se
é injetora, então
. Vamos provar duas inclusões:
Passo 5
Primeiro, vamos mostrar que
. Tome qualquer elemento
. Claro que
por definição de imagem. Portanto,
. Assim,
.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que
. Tome qualquer elemento
. Isso significa que
, ou seja, existe algum
tal que
.
Passo 7
Como
é injetora,
implica que
. Mas
, então
. Portanto,
.
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que
quando
é injetora.