Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Depois, vamos montar o gradiente . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra da cadeia. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a :
  1. Para , a derivada em relação a é . Isso porque a derivada de em relação a é , e .
  2. Para , a derivada em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é , e .
Agora, somando as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente:
  1. Para , a derivada em relação a é . Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e .
  2. Para , a derivada em relação a é . Aqui, a derivada de é , e .
Somando as duas derivadas:

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, vamos montar o gradiente . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a cada variável:
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
E o gradiente é dado por:

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Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
.
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção .
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
em .