Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Depois, vamos montar o gradiente
. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra da cadeia. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a
:
-
Para
, a derivada em relação a é . Isso porque a derivada de em relação a é , e . -
Para
, a derivada em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é , e .
Agora, somando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente:
-
Para
, a derivada em relação a é . Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e . -
Para
, a derivada em relação a é . Aqui, a derivada de é , e .
Somando as duas derivadas:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, vamos montar o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a cada variável:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
E o gradiente
é dado por:
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Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
em
.