Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre derivadas direcionais. Precisamos calcular a derivada da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender como encontrar o gradiente da função e como usar esse gradiente para calcular a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente da função é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando os cálculos:
Portanto:

Passo 5

A derivada direcional na direção do vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Vamos calcular isso passo a passo:
Distribuindo:
Somando os termos:
Podemos simplificar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção é:

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Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
em .
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção de máxima derivada direcional.