Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre derivadas direcionais. Precisamos calcular a derivada da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o gradiente da função e como usar esse gradiente para calcular a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente da função é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Simplificando os cálculos:
Portanto:
Passo 5
A derivada direcional
na direção do vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Vamos calcular isso passo a passo:
Distribuindo:
Somando os termos:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção
é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
em
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção de máxima derivada direcional.