Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá uma função composta . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de . Vamos chamar:
Então, podemos reescrever como:
Agora, queremos encontrar e em termos das derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a é a soma das derivadas parciais de multiplicadas pelas derivadas de em relação a :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
ã
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular também usando a regra da cadeia:
Calculando cada derivada:
ã
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.