Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. O enunciado nos dá uma função composta
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de
. Vamos chamar:
Então, podemos reescrever
como:
Agora, queremos encontrar
e
em termos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
multiplicadas pelas derivadas de
em relação a
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
também usando a regra da cadeia:
Calculando cada derivada:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.