Encontre partial upartial s e partial upartial t em termos das derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
u=f(e^s-3 t, log (1+s^2), raiz1+t^4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá uma função composta . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de x = e^s - 3t, y = log(1 + s^2), z = raiz1 + t^4 . Vamos chamar:
u = f(x, y, z)
Então, podemos reescrever como:
Agora, queremos encontrar e em termos das derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular partial upartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s + partial fpartial z cdot partial zpartial s usando a regra da cadeia. A derivada de partial xpartial s = dds e^s - 3t = e^s - 3t em relação a partial ypartial s = dds log(1 + s^2) = 2s1 + s^2 é a soma das derivadas parciais de partial zpartial s = dds raiz1 + t^4 = 0 (pois z não depende de s) multiplicadas pelas derivadas de partial upartial s = partial fpartial x cdot e^s - 3t + partial fpartial y cdot 2s1 + s^2 + partial fpartial z cdot 0 em relação a partial upartial s = e^s - 3t cdot partial fpartial x + 2s1 + s^2 cdot partial fpartial y :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
ã
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t + partial fpartial z cdot partial zpartial t também usando a regra da cadeia:
partial xpartial t = ddt e^s - 3t = -3 e^s - 3t
Calculando cada derivada:
partial ypartial t = ddt log(1 + s^2) = 0 (pois y não depende de t)
partial zpartial t = ddt raiz1 + t^4 = 4t^32raiz1 + t^4 = 2t^3raiz1 + t^4 ã
partial upartial t = partial fpartial x cdot (-3 e^s - 3t) + partial fpartial y cdot 0 + partial fpartial z cdot 2t^3raiz1 + t^4
Substituindo na expressão de partial upartial t = -3 e^s - 3t cdot partial fpartial x + 2t^3raiz1 + t^4 cdot partial fpartial z :
Simplificando:

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:
partial upartial s = e^s - 3t cdot partial fpartial x + 2s1 + s^2 cdot partial fpartial y
partial upartial t = -3 e^s - 3t cdot partial fpartial x + 2t^3raiz1 + t^4 cdot partial fpartial z

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