Encontre e em termos das derivadas parciais e para:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá . Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, então vamos usar esses conceitos para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro de . Temos:
Então, é uma função de e , que por sua vez são funções de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 4

Para encontrar , novamente usamos a regra da cadeia considerando que depende de e :
Observando as definições de e , temos:
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Usamos a mesma abordagem:

Passo 7

Para , aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção .