Encontre partial upartial s e partial upartial t em termos das derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
u=tan ^-1[f(t^2, 2 s-t,-4)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá . Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, então vamos usar esses conceitos para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro de x = t^2, y = 2s - t, z = -4 . Temos:
Então, é uma função de e , que por sua vez são funções de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de partial upartial s = ddu tan^-1(f) cdot partial fpartial s em relação a partial upartial s = 11 + f^2 cdot partial fpartial s , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 4

Para encontrar partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s + partial fpartial z cdot partial zpartial s , novamente usamos a regra da cadeia considerando que partial xpartial s = 0, partial ypartial s = 2, partial zpartial s = 0 depende de partial fpartial s = partial fpartial y cdot 2 e :
Observando as definições de e , temos:
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de partial upartial s = 11 + f^2 cdot 2 cdot partial fpartial y :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de partial upartial t = 11 + f^2 cdot partial fpartial t em relação a , ou seja, . Usamos a mesma abordagem:

Passo 7

Para partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t + partial fpartial z cdot partial zpartial t , aplicamos a regra da cadeia:
partial xpartial t = 2t, partial ypartial t = -1, partial zpartial t = 0
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial t = 2t cdot partial fpartial x - partial fpartial y
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de partial upartial t = 11 + f^2 cdot (2t cdot partial fpartial x - partial fpartial y) :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial s = 2,partial fpartial y1 + f^2
e
partial upartial t = 2t,partial fpartial x - partial fpartial y1 + f^2

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