Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. O enunciado nos dá
. Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, então vamos usar esses conceitos para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro de
. Temos:
Então,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de
é
, então:
Passo 4
Para encontrar
, novamente usamos a regra da cadeia considerando que
depende de
e
:
Observando as definições de
e
, temos:
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a mesma abordagem:
Passo 7
Para
, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
.