Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
em .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais e o gradiente da função no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial multivariável, onde trabalhamos com derivadas em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:
Derivando o interior em relação a :
Então:
Agora, substituímos , , e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma função:
Aplicando a regra da cadeia:
Derivando o interior em relação a :
Então:
Substituindo , , e :

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Mais uma vez, usamos:
Derivando em relação a :
Derivando o interior em relação a :
Então:
Substituindo , , e :

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:
E o gradiente da função nesse ponto é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção .
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção de máxima derivada direcional.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .