Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais e o gradiente da função
no ponto
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial multivariável, onde trabalhamos com derivadas em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Para derivar em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, então:
Derivando o interior em relação a
:
Então:
Agora, substituímos
,
, e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma função:
Aplicando a regra da cadeia:
Derivando o interior em relação a
:
Então:
Substituindo
,
, e
:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Mais uma vez, usamos:
Derivando em relação a
:
Derivando o interior em relação a
:
Então:
Substituindo
,
, e
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
E o gradiente da função
nesse ponto é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção de máxima derivada direcional.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.