Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais e o gradiente de uma função dada. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas em relação a cada variável e como juntar essas derivadas para formar o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos trabalhar:
Ela está escrita em coordenadas esféricas, onde é a distância até a origem, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, para derivar parcialmente, tratamos as outras variáveis como constantes.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Para isso, a derivada de é , então:

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a :
A derivada de é , então:

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente . O gradiente é um vetor que reúne todas as derivadas parciais da função. Em coordenadas esféricas, ele é dado por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
E o gradiente da função é:

Exercícios relacionados

Seja e . Calcule de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
na direção .
Seja e . Calcule de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto com os eixos coordenados.