Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais e o gradiente de uma função dada. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas em relação a cada variável e como juntar essas derivadas para formar o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos trabalhar:
Ela está escrita em coordenadas esféricas, onde
é a distância até a origem,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, para derivar parcialmente, tratamos as outras variáveis como constantes.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Para isso, a derivada de
é
, então:
Passo 5
Por último, vamos derivar
em relação a
:
A derivada de
é
, então:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente
. O gradiente é um vetor que reúne todas as derivadas parciais da função. Em coordenadas esféricas, ele é dado por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
E o gradiente da função é:
Exercícios relacionados
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Usando a Regra da Cadeia.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
na direção
.
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto
com os eixos coordenados.
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de