-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de
no ponto
com os eixos coordenados.
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular os ângulos que o gradiente da função
forma com os eixos coordenados no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular ângulos entre vetores e os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o vetor gradiente no ponto
é
.
Passo 5
Para encontrar os ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados, vamos usar a definição de tangente do ângulo entre o vetor e o eixo
:
Calculando
:
Passo 6
O ângulo que o vetor gradiente forma com o eixo
é complementar a
, ou seja:
Resposta
Os ângulos formados pelo gradiente de
no ponto
com os eixos coordenados são
com o eixo
e
com o eixo
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Calcule
onde
Calcule o comprimento da curva