-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto com os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular os ângulos que o gradiente da função forma com os eixos coordenados no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular ângulos entre vetores e os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o vetor gradiente no ponto é .

Passo 5

Para encontrar os ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados, vamos usar a definição de tangente do ângulo entre o vetor e o eixo :
Calculando :

Passo 6

O ângulo que o vetor gradiente forma com o eixo é complementar a , ou seja:

Resposta

Os ângulos formados pelo gradiente de no ponto com os eixos coordenados são com o eixo e com o eixo .

Exercícios relacionados

Seja e . Calcule de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Calcule onde
Calcule o comprimento da curva