Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Usando a Regra da Cadeia.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular
usando a Regra da Cadeia. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, especificamente usando a Regra da Cadeia em cálculo. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos:
onde
e
Nossa meta é encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, sabemos que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Porque a derivada de
é
e
é tratado como constante em relação a
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Aqui, a derivada de
é
, e
é tratado como constante em relação a
.
Passo 6
Em seguida, derivamos
em relação a
:
A derivada do logaritmo natural
é
.
Passo 7
Derivamos
em relação a
:
A derivada de
é
, onde
e
.
Passo 8
Agora, substituímos todas as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão:
Sabemos que
, então simplificamos:
Simplificando mais:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
na direção
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.