Seja e . Calcule de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular usando a Regra da Cadeia. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, especificamente usando a Regra da Cadeia em cálculo. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos:
onde
e
Nossa meta é encontrar , ou seja, a derivada de em relação a .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, sabemos que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a .

Passo 4

Primeiro, derivamos em relação a :
Porque a derivada de é e é tratado como constante em relação a .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a :
Aqui, a derivada de é , e é tratado como constante em relação a .

Passo 6

Em seguida, derivamos em relação a :
A derivada do logaritmo natural é .

Passo 7

Derivamos em relação a :
A derivada de é , onde e .

Passo 8

Agora, substituímos todas as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 9

Finalmente, substituímos e na expressão:
Sabemos que , então simplificamos:
Simplificando mais:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
na direção .
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Seja e . Calcule de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.