Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
na direção .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto (1,1) na direção do vetor (2, -1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para encontrar essa derivada, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar o gradiente da função no ponto dado.
  2. Normalizar o vetor de direção, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
  3. Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.

Passo 3

Vamos começar encontrando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário (com magnitude igual a 1).
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor :
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
Seja e . Calcule de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
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