Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
na direção
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto (1,1) na direção do vetor (2, -1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para encontrar essa derivada, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar o gradiente da função
no ponto dado. - Normalizar o vetor de direção, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
- Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Passo 3
Vamos começar encontrando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário (com magnitude igual a 1).
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor
:
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário
:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
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Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Usando a Regra da Cadeia.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.