Seja e . Calcule de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função , onde e . O objetivo é calcular a derivada de em relação a , ou seja, , de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como , precisamos derivar cada parte em relação a . Basicamente, a derivada de em relação a será a soma das derivadas parciais de em relação a e , multiplicadas pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas são as derivadas de mantendo e constantes, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Aqui, usamos as regras de derivação para logaritmo e arctangente.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada total de em relação a é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão substituindo e :
Sabendo que , simplificamos:

Passo 7

Para simplificar ainda mais, vamos lembrar que e . Aplicando isso com :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
.
Seja e . Calcule de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto com os eixos coordenados.
Calcule onde