Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
, onde
e
. O objetivo é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como
, precisamos derivar cada parte em relação a
. Basicamente, a derivada de
em relação a
será a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, multiplicadas pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas são as derivadas de
mantendo
e
constantes, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Aqui, usamos as regras de derivação para logaritmo e arctangente.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada total de
em relação a
é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão substituindo
e
:
Sabendo que
, simplificamos:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, vamos lembrar que
e
. Aplicando isso com
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
.
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Usando a Regra da Cadeia.
Usando a Regra da Cadeia.
-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto
com os eixos coordenados.
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de
Calcule
onde