Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção de máxima derivada direcional.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção da máxima derivada direcional. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A máxima derivada direcional ocorre na direção do próprio gradiente. Para encontrar o valor dessa derivada, calculamos o módulo do vetor gradiente no ponto dado. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da máxima derivada direcional é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
em
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção