Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção de máxima derivada direcional.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção da máxima derivada direcional. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

A máxima derivada direcional ocorre na direção do próprio gradiente. Para encontrar o valor dessa derivada, calculamos o módulo do vetor gradiente no ponto dado. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da máxima derivada direcional é .

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Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
em .
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção .
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção