Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
e também o gradiente
. Vamos precisar utilizar o conceito de derivadas parciais e entender como calcular o gradiente de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A função interna é
e a função externa é
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia com
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente
, que é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
E o gradiente é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção de máxima derivada direcional.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente
.
em
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
na direção
.