Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função e também o gradiente . Vamos precisar utilizar o conceito de derivadas parciais e entender como calcular o gradiente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função interna é e a função externa é .
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia com .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente , que é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e :

Resposta

As derivadas parciais são:
E o gradiente é:

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Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção de máxima derivada direcional.
Para cada uma das seguintes funções, encontre as derivadas parciais e o gradiente .
em .
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
em na direção
Calcule a derivada direcional de no ponto dado e na direção dada.
na direção .