Calcule a derivada direcional de
no ponto dado e na direção dada.
em
na direção
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. A derivada direcional nos mostra como a função muda quando nos movemos na direção especificada a partir de um ponto. Para isso, vamos precisar usar o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente da função é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. Normalizar significa converter o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde
representa o produto escalar entre os dois vetores.
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.