Calcule a derivada direcional de f no ponto dado e na direção dada.
f(x, y, z) = x^2 * e^(-y * z) em (1, 0, 0) na direção v = (1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . A derivada direcional nos mostra como a função muda quando nos movemos na direção especificada a partir de um ponto. Para isso, vamos precisar usar o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e :

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . Normalizar significa converter o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde representa o produto escalar entre os dois vetores.
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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